BAC 2010 Liban Ex N°2

1. $\textcolor{#caa7ff}{\vec{AB}(2;-3;-1)}$ dirige $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$, et cette derniere passe par $\textcolor{#caa7ff}{A(1;-2;-1)}$. On trouve donc la représentation paramétrique suivante :
$$\textcolor{#caa7ff}{
(D)
\begin{cases}
x = 1 + 2t \newline
y = -2 - 3t \newline
z = -1 - 1t
\end{cases}
}$$
Ce qui correspond à la représentation paramétrique proposée.

2. $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ ne sont pas coplanaires si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ ne sont ni parallèles ni sécantes.

Parallelité :
$\textcolor{#caa7ff}{\vec{d}(2;-3;-1)}$ dirige $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{d'}(-1;2;1)}$ dirige $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$. On cherche alors s'il existe $\textcolor{#caa7ff}{k}$ tel que $\textcolor{#caa7ff}{\vec{d} = k\vec{d'}}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
2 = -k \newline
-3 = 2k \newline
-1 = k
\end{cases}
\quad \text{Pas de solution !}
}$$
Donc
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{(D) \nparallel (D')}
}$$

Intersection :
On note $\textcolor{#caa7ff}{F}$ le point d'intersection de $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
x_F = 1 + 2t \newline
y_F = -2 - 3t \newline
z_F = -1 - t \newline
x_F = 2 - k \newline
y_F = 1 + 2k \newline
z_F = k
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
1 + 2t = 2 - k \newline
-2 - 3t = 1 + 2k \newline
-1 - t = k \newline
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
1 + 2t = 2 - (-1 - t) \newline
-2 - 3t = 1 + 2 (-1 - t) \newline
k = -1 - t \newline
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
t = 2 \newline
t = -1 \newline
\end{cases}
}$$
Le système n'a pas de solution. Le point $\textcolor{#caa7ff}{F}$ n'existe pas, donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
(D) \text{ et } (D') \text{ ne se coupent pas}
}
}$$

Les droites $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ ne sont donc pas coplanaires.

3.a) $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ passe par $\textcolor{#caa7ff}{A(1;-2;-1)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{B(3;-5;-2)}$. Elle est donc incluse dans $\textcolor{#caa7ff}{(P)}$ si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{A \in (P)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{B \in (P)}$.

Pour a :
$$\textcolor{#caa7ff}{
4x + y + 5z + 3
= 4(1) + (-2) + 5(-1) + 3
= 4 - 2 - 5 + 3
= \boxed{0}
}$$
Pour b:
$$\textcolor{#caa7ff}{
4x + y + 5z + 3
= 4(3) + (-5) + 5(-2) + 3
= 12 - 5 - 10 + 3
= \boxed{0}
}$$

On a donc bien $\textcolor{#caa7ff}{(D) \subset (P)}$.

b) Le point $\textcolor{#caa7ff}{C}$ doit vérifier l'équation de $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ et de $\textcolor{#caa7ff}{(P)}$. On résout donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
x = 2 - k \newline
y = 1 + 2k \newline
z = k \newline
4x + y + 5z + 3 = 0
\end{cases}
\newline
\newline \Rightarrow ~~
4 (2 - k) + (1 + 2k) + 5 (k) + 3 = 0
\newline \iff
8 - 4k + 1 + 2k + 5k + 3 = 0
\newline \iff
3k = -12 \iff \boxed{k = -4}
}$$
On en déduit donc $\textcolor{#caa7ff}{C(6;-7;-4)}$.

4.a) $\textcolor{#caa7ff}{(\Delta) \perp (D')}$ si et seulement si elles sont sécantes et leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

$\textcolor{#caa7ff}{C \in (\Delta)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{C \in (D')}$ donc $\textcolor{#caa7ff}{(D')}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(\Delta)}$ sont sécantes

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{w} \cdot \vec{d'}
= 1 \times (-1) + 1 \times 2 + (-1) \times 1
= -1 + 2 - 1
= 0
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{\vec{w}}$ et $\textcolor{#caa7ff}{\vec{d'}}$ sont donc orthogonaux. On a donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{(\Delta) \perp (D')}
}$$

b) On trouve une représentation paramétrique de la droite $\textcolor{#caa7ff}{(\Delta)}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
x = 6 + q \newline
y = -7 + q \newline
z = -4 - q
\end{cases}
}$$

Alors, $\textcolor{#caa7ff}{E}$ est le point tel que :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{cases}
x_E = 1 + 2t \newline
y_E = -2 - 3t \newline
z_E = -1 - t \newline
x_E = 6 + q \newline
y_E = -7 + q \newline
z_E = -4 - q
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
1 + 2t = 6 + q \newline
-2 - 3t = -7 + q \newline
-1 - t = -4 - q
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
1 + 2 (3 + q) = 6 + q \newline
-2 - 3 (3 + q) = -7 + q \newline
t = 3 + q \newline
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
q = -1 \newline
q = -1 \newline
t = 2
\end{cases}
}$$

On trouve alors $\textcolor{#caa7ff}{E(5;-8;-3)}$

De plus
$$\textcolor{#caa7ff}{
(\Delta) \perp (D) \iff \vec{w} \cdot \vec{d} = 0
}$$

On calcule :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{w} \cdot \vec{d}
= 1 \times 2 + 1 \times (-3) + (-1) \times (-1)
= 2 - 3 + 1
= 0
}$$

Les droites $\textcolor{#caa7ff}{(\Delta)}$ et $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ se coupent donc perpendiculairement en $\textcolor{#caa7ff}{E(5;-8;-3)}$.